Für alle Mathefans: Theorie hinter Julia-Fraktalen

[SamTiba]

Hier eine Seite, die mir zum vielfachen Verstehen von Fraktalen und ihren Eigenschaften beigetragen hat.
Besonders hilfreich zum Verständnis von Julia-Fraktalen und deren Eigenschaften.

Leider sehr schwer zu lesen (wenn man kein Mathematikstudent ist), aber ich hab dort einige nützliche Infos gefunden:

http://www.ijon.de/mathe/julia/index.html

paar Bildchen gibts auch, allerdings alles in schwarz weiß.
Der Author hat wohl mehr Wert auf die Mathematik als die Schönheit gelegt.

[taurus]

Wirklich eine umfangreiche und informative Seite. Die werde ich mir bei Gelegenheit sicher mal näher anschauen. 
Das mit den s/w Bildern kann ich aber nicht nachvollziehen. Wäre es dem Autor dabei um die Mathematik gegangen, hätte er schwarz für Teil der Menge und weiß für nicht Teil der Menge vergeben (oder umgekehrt).
Eine weiße Grenzlinie vor schwarzem Hintergrund ist weder graphisch noch mathematisch-didaktisch sinnvoll!

[SamTiba]

er hat genau das getan, schwarz ist die Fatou-Menge und weiß ist die Julia-Menge!

Die Julia-Menge ist in den meisten Fällen quasi keine 'Fläche', sondern nur ein Rand von Bereichen, wo die Funktion in unterschiedliche Richtungen konvergiert

[cKleinhuis]

ich hoffe der zusammenhang mandelbrot<->julia ist bekannt? (also das alle seeds fuer die julia connected ist die mandelbrot menge entsteht ) will darueber die ganze zeit schon nen video machen komme aber nicht dazu

[SamTiba]

klar ist der zusammenhang bekannt
aber alle schließen daraus, dass die Julia-Menge ein 'Nebenprodukt' des Mandelbrot-Fraktals ist, dabei entspringt ihm eine so enorme Landschaft, da die Julia-Menge ja nur eine Definition ist und die Mandelbrot-Menge eine exakte Formel hat.

Aus beiden Punkten entsprießt dadurch das besondere: beim Mandelbrot genau die Varietäten in einem Bild und bei der Julia-Landschaft in ihrer Varietät der Vielzahl und möglichen Komplexität

[taurus]

er hat genau das getan, schwarz ist die Fatou-Menge und weiß ist die Julia-Menge!

Ich meinte z.B. diese Julia Menge. das innere schwarz ist die Menge (klassisch z^2+c mit c=-0,2-0,7i) das äußere schwarz ist außerhalb der Menge. Probier's mit einem einschlägigen Progrämmchen.



und ja der Zusammenhang ist bekannt. Man kann die Mandelbrot Menge durchaus als Karte für die unendlich vielen Julia Mengen sehen. Der switch mode in Ultrafractal macht das sehr transparent...

[Sabine]

@cKleinhuis Wenn du mal zeit hast  würde ich mich sehr freuen über einen video der mir diesen zusammenhang anschaulich macht. Als nicht-mathematiker usw.usw.

[SamTiba]

Ich meinte z.B. diese Julia Menge. das innere schwarz ist die Menge (klassisch z^2+c mit c=-0,2-0,7i) das äußere schwarz ist außerhalb der Menge. Probier's mit einem einschlägigen Progrämmchen.

Hier haben wir es. Die allgemein geläufige Definition von der Juliamenge ist die, wo die iterierte Funktion 'klein bleibt', also konvergiert.

Allerdings ist dies eine Mathematische Näherung für Polynome, die exakte Definition (ebenfalls gefunden in diesem Artikel) ist anders.
Punkte sind in der Julia-Menge, wenn sie bei unendlich kleinem Abstand zum Nachbarn nach einer gewissen Anzahl von Iterationen einen großen Unterschied aufweisen.
(so würde es nicht-mathematisch beschrieben heißen).
Durch diese Definition ist über weitere mathematische Modelle eine Ausweitung auf jede auch nich rationale Funktion möglich.

Modelle sind weitaus schwieriger dadurch implementierbar, aber exakt.
Die Näherung funktioniert leider nur für Polynome.

[taurus]

Hier haben wir es. Die allgemein geläufige Definition von der Juliamenge ist die, wo die iterierte Funktion 'klein bleibt', also konvergiert.

Allerdings ist dies eine Mathematische Näherung für Polynome, die exakte Definition (ebenfalls gefunden in diesem Artikel) ist anders.
Punkte sind in der Julia-Menge, wenn sie bei unendlich kleinem Abstand zum Nachbarn nach einer gewissen Anzahl von Iterationen einen großen Unterschied aufweisen.
(so würde es nicht-mathematisch beschrieben heißen).
Durch diese Definition ist über weitere mathematische Modelle eine Ausweitung auf jede auch nich rationale Funktion möglich.

Modelle sind weitaus schwieriger dadurch implementierbar, aber exakt.
Die Näherung funktioniert leider nur für Polynome.

Ich verstehe nicht ganz, was Du damit sagen willst.
"die exakte Definition (...) ist anders.
Punkte sind in der Julia-Menge, wenn sie bei unendlich kleinem Abstand zum Nachbarn nach einer gewissen Anzahl von Iterationen..."
Was zum Beispiel ist an einer "gewissen Anzahl" bitte exakt?
Ich habe gelernt, dass diejenigen Punkte zur (Julia-) Menge gehören, die unter der Iteration nicht gegen unendlich streben. Eine Falsifikationsbedingung also. "Nicht gegen unendlich" wird dabei an der Überschreitung eines festgelegten Grenzwertes (genannt Fluchtdistanz) festgemacht. Die Anzahl der Iterationen legt dabei lediglich fest, wie nahe man der Grenze zwischen zur Menge gehörend und nicht zur Menge gehörend kommt.
"Klein Bleiben" bedeutet übrigens bei nichtlinearen Operationen nicht notwendigerweise konvergieren. Das einfachste Beispiel dafür ist das Feigenbaum Diagramm, das an manchen Stellen konvergiert (auf einen oder mehrere Grenzwerte zustrebt) an anderen Stellen aber bis in alle Ewigkeit chaotisch hin und her springt und trotzdem nie gegen unendlich oder einen anderen Grenzwert konvergiert. Da das Feigenbaum Diagramm auch Teil der Mandelbrot Menge ist (für alle bi=0), verhält sich das auch in der komplexen Zahlenebene so.
Mir ist durchaus klar, dass man das auch über Polynome, bzw. Potenzreihen definieren kann und diese für analytische Betrachtungen auch durchaus ihre Berechtigung haben. Man sollte sich aber hüten, das eine oder das andere als die richtige oder gar die einzig richtige Definition darzustellen. Wir können graphisch ohnehin nur eine finite - sprich endliche - Abbildung dieser Mengen erstellen. Die Ganze Menge können wir in den meisten Fällen nicht darstellen.

Meine Kritik an der s/w Darstellung bleibt davon unberührt. Julia Menge und nicht Julia Menge haben die gleiche Farbe. Lediglich eine Grenzlinie wird - aus Gründen der Sichtbarkeit sogar übertrieben dick - mit weiß vom Rest abgehoben. Ich halte das nach wie vor für nicht Ziel führend.

[SamTiba]

okay, gehen wir mal ein wenig tiefer in die Mathematik, um meine eigenen Formulierungen näher zu spezifizieren:

Mathematische Definition: Die Fatou-Menge ist die offene Teilmenge von C, auf der die Funktion gleichgradig stetig ist.
Die Julia-Menge ist das abgeschlossene Komplement dazu.

Daraus folgt (von Wiki):

Fatou-Menge
Die Startwerte aus dieser Menge führen unter Iteration zu einer stetigen Dynamik, das heißt: Wenn sich der Startwert nur ein klein wenig ändert, dann zeigt auch die Dynamik ein ähnliches Verhalten.

Julia-Menge
Die Punkte in dieser Menge führen zu instabilen Prozessen: Jede noch so kleine Änderung des Startwertes führt zu einer komplett anderen Dynamik.

Wenn wir nun zur komplexen Ebene den Punkt Unendlich hinzunehmen und definieren, dass eine Funktion gegen Unendlich konvergiert und nicht divergiert, dann können wir zum Beispiel für die Funktion z^2 simpel die Julia-Menge bestimmen:

Es ist der Einheitskreis, da rundherum eine kleine Änderung des Startwertes zu einem anderen Grenzwert führt (0,1,Unendlich, hier auch die Fixpunkte).
Für alle anderen Punkte sind die Werte nach Iteration im Vergleich zu ihren Nachbarn ähnlich (0 oder Unendlich).

Einschlägige Programme mögen uns manchmal etwas vorläuten, aber die Julia-Menge ist weiterhin der weiße Rand auf dem Bild.

Klar mich gibt's noch nicht lange hier im Forum, aber ich hab mich jetzt schon echt relativ lange mit den Julia-Mengen beschäftigt um das zu wissen.
Es geht mir auch nicht zu zeigen, dass hier einer von uns schlauer ist, neues zu Fraktalen zu erfahren ist doch immer wieder etwas spannendes!
Ich kann dir darüber, falls du möchtest, auch noch mehr erzählen.

[cKleinhuis]

@cKleinhuis Wenn du mal zeit hast   würde ich mich sehr freuen über einen video der mir diesen zusammenhang anschaulich macht. Als nicht-mathematiker usw.usw.

das finde ich gut das einzige was ich derzeit anbieten kann ist die visualisierung der mandelbrot iteration, und naja, der unterschied mandelbro-julia liegt visuell darin das
1. alle punkte NICHT bei (0,0) anfangen also beim julia - da mandelbrot immer mit 0,0 anfaengt, da das mandelbrot ja quasi "prueft" ob die julia menge "connected" ist was durch pruefung des nullpunktes erfolgt
2. die SHIFT bzw translation bzw verschiebung oder halt "PLUS" operation bei julia ist fuer alle punkte identisch, und fuer alle mandebrot punkte unterschiedlich
3. *achtung interessant fuer nerds* wenn man sich punkt 2 genau anschaut sieht man das bei sehr sehr grossen zoomstufen die unterschiedlichkeit der translation der punkte immer geringer wird und sich das mandelbrot fast wie ein julia verhaelt, daher naemlich auch die quasi julia fraktale die man beim reinzoomen findet

so long, dauert aber noch bis ich mal das video schaffe dazu aber die obigen 3 punkte werden darin behandelt

<a href="https://www.youtube.com/v/ce0lms78nt4&rel=1&fs=1&hd=1" target="_blank">https://www.youtube.com/v/ce0lms78nt4&rel=1&fs=1&hd=1</a>

[cKleinhuis]

@samtiba, das die julia menge nur der rand ist ist mir aber auch neu

[SamTiba]

@cKleinhuis: Oh jetzt ehrlich, das wusstest du auch nicht?

Gut ich werde mir mal die Zeit nehmen und dazu was schreiben und es in den englischen Teil bringen mit einschlägigen, schönen Bildern.

[SamTiba]

Langsam werden mir die Zusammenhänge immer klarer!
das mit der Wiederfindbarkeit von Julia-Mengen im Mandelbrot-Fractal bei tiefen Zooms ergibt total Sinn! Ebenso, dass Julia-Mengen nicht so eine hohe Varietät aufweisen.

Ich werde mir mal wirklich Zeit nehmen und das aus meiner Sicht erklären und darlegen.

[taurus]

Einschlägige Programme mögen uns manchmal etwas vorläuten, aber die Julia-Menge ist weiterhin der weiße Rand auf dem Bild.

Man möge mich widerlegen, aber das halte ich für Unfug. Die vergröberte Darstellung ist es ohnehin.

Im inneren zumindest der Mandelbrotmenge passieren zudem noch hoch interessante Dinge (juliamengen habe ich diesbezüglich noch nicht untersucht), schaut man sich z.B. die Orbits an, die die Iteration durchläuft.
Aber sei es drum. Vielleicht bin ich ja der Kretin. Vergleiche dieser Art liegen mir ohnehin nicht sehr am Herzen.