Welcome to Fractal Forums

sqrt(2)/4*z*(sqrt(8)-z^3)/(z^3+1/sqrt(8))

loop:
     int itercount=0;  counter for the mul sequence operator 
     complex tempz=(1,0) ;init with unit number
     while(itercount<3) ; play with itercountmax value, 1,2,3
       z=z^2+ #pixel
       complex t1=z-(sqrt(2)*#e^((2*(itercount-1)*#pi)/3))
       complex t2=sqrt(2)*z -(#e^((2*itercount+#pi)/3))
       tempz=t1/t2
       itercount=itercount+1
       endwhile
       z=z*tempz +@seed ; include julia seed

loop:
     int itercount=0;  counter for the mul sequence operator 
     complex tempz=(1,0) ;init with unit number
     while(itercount<3) ; play with itercountmax value, 1,2,3
       z=z^2+ #pixel
       complex t1=z-(sqrt(2)*#e^((2*(itercount-1)*#pi)/3))
       complex t2=sqrt(2)*z -(#e^((2*itercount+#pi)/3))
       tempz=tempz*(t1/t2) ; fix for missing mul
       itercount=itercount+1
       endwhile
       z=z*tempz +@seed ; include julia seed

// complex map; "sqrt(2)/4*z*(sqrt(8)-z^3)/(z^3+1/sqrt(8))" -> in x and y form

float x=z.x; float y = z.y;
float h = sqrt(8.); float k = 1./h;
float S = x*x*x - 3.* x*y*y;
float T = y*y*y - 3.* y*x*x; 
float B = (h + k) * T;
T = T*T;
float A = (S + k) * ( h - S) - T;
float C = -k / (T + (S + k)* (S + k));
z.x = (A* x - B* y)*C;
z.y = (A* y + B* x)*C;

void tetra(inout vec3 p, float r) {
     float angle = acos( p.z/r );
     float omega = atan( p.x, p.y );
     float zMag = tan(angle*0.5);
     vec2 z;
     z.y = sin(omega)*zMag;
     z.x = -cos(omega)*zMag;
     float x=z.x; float y = z.y;
     float h = sqrt(8.); float k = 1./h;
     float S = x*x*x - 3.* x*y*y;
     float T = y*y*y - 3.* y*x*x; 
     float B = (h + k) * T;
     T = T*T;
     float A = (S + k) * ( h - S) - T;
     float C = -k / (T + (S + k)* (S + k));
     z.y = (A* x - B* y)*C;
     z.x = (A* y + B* x)*C;
    
     zMag = sqrt(z.x*z.x + z.y*z.y);
     omega = atan(z.x,z.y);
     angle = 2.0*atan(zMag);

	p  = (r*r)*vec3( sin(omega)*sin(angle), cos(omega)*sin(angle), -cos(angle) );
}

     float x=z.x; float y = z.y;
     float j = x*x+y*y;
     float Ni = -y*(j+1.)*(j-2.*x-1.)*(j+2.*x-1.);
     float Nr= x*(j-1.)*(j*j+2.*j+4.*y*y+1.);
     float C= (j-2.*y+1.)*(j+2.*y+1.);
     C = 2. / (C*C);
     z.x =Nr*C;
     z.y = Ni*C;

void tetra(inout vec3 p, float r) {
     float x=p.x; float y = p.y; vec2 z;
     //float angle = acos( p.z/r );
     //float omega1 = atan( p.x, p.y );
     //float zMag = tan(angle*0.5);
     //z.x = sin(omega1)*zMag;
     //z.y = cos(omega1)*zMag;
     // UNTRIG VERSION:
     float angle = ( p.z/r );
     float omega;
     float omega2 = (sqrt(x*x+y*y)-y)/x;
     float omega3 = omega2*omega2;
     float zMag =  sqrt((1.-angle)/(1.+angle));
     float zMag2;

     float sno = 2.*omega2  /(1.+omega3);
     float cso = (1.-omega3)/(1.+omega3);

     x=sno*zMag; y = cso*zMag;
     // PLAIN VERSION:
     float h = sqrt(8.); float k = 1./h;
     float S = x*x*x - 3.* x*y*y;
     float T = y*y*y - 3.* y*x*x; 
     float B = (h + k) * T;
     T = T*T;
     float A = (S + k) * ( h - S) - T;
     float C = -k / (T + (S + k)* (S + k));
     z.x = (A* x - B* y)*C;
     z.y = (A* y + B* x)*C;
     x=z.x; y = z.y;

     zMag2 = x*x + y*y;
     zMag = sqrt(zMag2);
     //omega = atan(z.x,z.y);
     //angle = 2.0*atan(zMag);
     omega2 = (zMag -y)/x; omega3 = omega2*omega2;

     cso = (1.-omega3)/(1.+omega3);
     sno = 2.*omega2  /(1.+omega3);

     float csa = 2.  /(1.+zMag2);
     float sna = csa*zMag;
     csa = csa - 1.;

     p  = (r*r)*vec3( sno*sna, cso*sna, csa );
}

int log2pow = 1; // gives mandelbrot ^ 4 use 2, 3 higher power
void tetra(inout vec3 p, float r) {
     float x=p.x; float y = p.y; vec2 z;
     // UNTRIG VERSION
     float angle = ( p.z/r );
     float omega;
     float omega2 = (sqrt(x*x+y*y)-y)/x;
     float omega3 = omega2*omega2;
     float zMag =  sqrt((1.-angle)/(1.+angle));
     float zMag2;

     float sno = 2.*omega2  /(1.+omega3);
     float cso = (1.-omega3)/(1.+omega3);

     x=sno*zMag; y = cso*zMag;
     // PLAIN VERSION:
     for (int i=0; i <= log2pow; i++) { // 
         float h = sqrt(8.); float k = 1./h;
         float S = x*x*x - 3.* x*y*y;
         float T = y*y*y - 3.* y*x*x; 
         float B = (h + k) * T;
         T = T*T;
         float A = (S + k) * ( h - S) - T;
         float C = -k / (T + (S + k)* (S + k));
         z.x = (A* x - B* y)*C;
         z.y = (A* y + B* x)*C;
         x=z.x; y = z.y; r = r*r;
     }
     zMag2 = x*x + y*y;
     zMag = sqrt(zMag2);
     omega2 = (zMag -y)/x; omega3 = omega2*omega2;

     cso = (1.-omega3)/(1.+omega3);
     sno = 2.*omega2  /(1.+omega3);

     float csa = 2.  /(1.+zMag2);
     float sna = csa*zMag;
     csa = csa - 1.;
     p  = r*vec3( sno*sna, cso*sna, csa );
}